DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DOS POLIEDROS IRREGULARES

podemos definir um poliedro irregular como aquele que não admite lei de geração que o caracterize com perfeição.

poliedrros irregulares são divididos em dois grupos:

I- Pirâmides

II- Prismas

III-Anti-prismas

Pirâmides

Pirâmide é o poliedro resultante interseção de um ângulo sólido por um plano iclinado às arestas.pode também ser vista como o resultado da ligação dos vértices de um polígono a um ponto fora do plano do polígono.
A pirâmide dita regular tem por base um polígono regular.É chamada reta quando a projeção ortogonal do vértice coicinde com o centro da base.Caso contrário é oblíqua.Quando as faces são triângulos equiláteros a pirâmide é regular equilátera.


Prismas

os prismas são os sólidos geométrico que ficam definidos quando um feixe de paralelas não conplanares é cortado por dois planos.Quando os planos não são paralelos fica dito que a fegura é um "tronco de prismas".Os planos são chamados de "bases" e as paralelas são as "arestas laterais".


Anti-prismas

Quando ligamos os vértices de dois polígonos não complanares,de modo a definir triângulos entre eles,formam-se poliedros conhecidos por:

1.Antiprismóides- quando os polígonos não têm mesmo número de lados.

2.Antipiramóides- quando um dois polígonos é substituído por um segmento de reta.

3.Tronco-antiprismas- quando os polígonos têm mesmo números de lados e não são de planos paralelos.

4.Antiprismas- quando os polígonos têm o mesmo número de lados e estão em planos paralelos.


        Imagens de poliedros regulares e irregulares

               

           
    

    
     


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        POLIEDROS REGULARES

Um poliedro tem "bicos", que são os ângulos poliédricos, e faces planas, que são os polígonos.
Um poliedro que tenha como faces apenas polígonos regulares, todos idênticos, e que também apresente todos os bicos (ângulos poliédricos) idênticos entre si é um poliedro regular.
Platão, por volta do século VI antes de Cristo, estudou certa classe de poliedros; que vieram posteriormente, ser conhecidos como os poliedros de Platão, entre os quais se incluem os poliedros regulares.
De um poliedro de Platão, exige-se que:

• Todas as faces sejam polígonos, regulares ou não, mas com o mesmos número de lados;
• Todos os bicos sejam formados com o mesmo número de arestas.

Quantos são os poliedros de Platão?
Só existem cinco tipos de poliedros de Platão, regulares ou não, que são: 1. Tetraedro 2. Octaedro 3. Icosaedro 4. Hexaedro 5. Dodecaedro
Obs: Na tentativa de construir poliedros regulares, verificamos, na prática, que não é possível fazê-lo nem com hexágonos, nem com polígonos que tenham mais do que seis lados. Por quê? Ora, experimentem construir um poliedro regular com hexágonos!
Obs 2: Os poliedros podem ser convexos ou não-convexos.

• número de faces de um poliedro deve ser maior ou igual a 3.

TEOREMA DE EULER
Em todo poliedro com A arestas, V vértices e F faces, vale a relação V – A + F = 2 Essa relação é verdadeira para todos os poliedros convexos.
Os poliedros regulares são conhecidos desde a antiguidade. O livro XIII dos "Elementos" de Euclides (cerca de 300 a.C.) é inteiramente dedicado aos sólidos regulares e contém extensos cálculos que determinam, para cada um, a razão entre o comprimento da aresta e o raio da esfera circunscrita.
Obs 3: A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é S = (V – 2).4r Onde V é o número de vértices e r é um ângulo reto.
A soma das medidas dos ângulos das faces de um poliedro convexo é dada pela expressão S = (V – 2) . 360.Poliedros regulares
Existem 9 poliedros regulares que são os 5 Sólidos Platónicos e os 4 Poliedros de Kepler-Poinsot.
Sólidos de Arquimedes

Sólidos de Arquimedes ou poliedros semi-regulares são poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares de mais de um tipo. Todos os seus vértices são congruentes, isto é, existe o mesmo arranjo de polígonos em torno de cada vértice. Além disso, todo vértice pode ser transformado em outro vértice por uma simetria do poliedro. Existem apenas treze poliedros arquimedianos.
Onze são obtidos truncando sólidos platónicos:
O Tetraedro truncado, o Cuboctaedro, o Cubo truncado, o Octaedro truncado, o Rombicuboctaedro, o Cuboctaedro truncado, o Icosidodecaedro, o Dodecaedro truncado, o Icosaedro truncado, o Rombicosidodecaedro e o Icosidodecaedro truncado.
Dois que são obtidos por snubificação de sólidos platónicos:
O Cubo snub e o Icosidodecaedro snub. Estes dois sólidos têm caso isomórfico, quer dizer uma figura de espelho correspondente.
Os sólidos duais dos sólidos de Arquimedes são os Sólidos de Catalan.

Prismas e Antiprismas

Os prismas e antiprismas são grupos infinitos.
Os Prismas são constituidos por duas faces paralelas chamadas diretrizes que dão o nome ao prisma, e uma série de retângulos, tantos como lados da face diretriz. Por exemplo, o prisma cujas faces diretrizes são triangulares chama-se prisma triangular e compõe-se de 2 triângulos e 3 retângulos; tem 9 arestas e 6 vértices de ordem 3 de onde convergem sempre dois retângulos e um triângulo. Outro exemplo seria o Prisma decagonal composto de 2 decágonos + 10 rectângulos; tem 30 arestas e 20 vértices de ordem 3.

Os antiprismas têm uma construção parecida, duas faces paralelas e a uni-las uma série de triângulos
O número de triângulos é número de lados da face diretriz multiplicado por dois; assim o antiprisma pentagonal (figura) compõe-se de 2 pentágonos e 10 triângulos; tem 10 vértices e 20 arestas.

Um poliedro é regular quando todas as faces são polígonos regulares congruentes e todos os vértices são congruentes. Isto significa que existe uma simetria do poliedro que transforma cada face, cada aresta e cada vértice numa outra face, aresta ou vértice. É possível provar que existem apenas cinco poliedros regulares convexos.

Os cinco poliedros regulares convexos — tetraedro, cubo ou hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro — ficaram conhecidos na história como sólidos platônicos, pelo fato de Platão ter construído suas teorias a respeito da origem do universo, associando a estes os constituintes fundamentais da natureza. Platão professava que Deus criou o mundo a partir de quatro elementos básicos: a terra, o fogo, o ar e a água. Ele procurou, então, definir as essências específicas desses elementos através de quatro objetos geométricos, os poliedros convexos regulares, que representavam, aos olhos dos gregos, harmonia e uma certa perfeição.



a terra, o elemento mais imóvel, Platão associou ao cubo, o único poliedro com faces quadradas, e dessa forma, o mais apto a garantir estabilidade;


o fogo ele atribuiu ao tetraedro, que é o poliedro mais "pontudo", com arestas mais cortantes, com menor número de faces e de maior mobilidade;


a água e o ar, que são de mobilidade crescente e intermediária entre a terra e o fogo, ele atribuiu respectivamente ao icosaedro e ao octaedro.


Com o tempo, aparece o quinto e último poliedro regular convexo: o dodecaedro. Platão explicita suas idéias sobre o quinto elemento: o cosmos, que segundo ele seria a "alma do mundo".

 

Os poliedros são divididos em três grupos:
-> Os regulares (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro)
-> Os semi-regulares (tetratroncoedro, cuboctatroncoedros,
dodecaicositroncoedros)
-> Os irregulares (pirâmides e prismas).
Os poliedros também se classificam em :
->Os convexos Dentre as infinitas formas poliédricas, existem algumas que, pelo seu "equilíbrio", pela sua simetria, há muito tempo exercem fascinação sobre os homens. Como exemplo podemos citar a forma poliédrica das pirâmides egípcias.
E dentre estas formas "esteticamente harmoniosas" destacam-se os polígonos regulares. Um poliedro se diz regular se suas faces são polígonos regulares congruentes entre si e seus ângulos poliedricos são congruentes, isto é, de cada vértice do poliedro parte o mesmo número de arestas.
Este poliedro é delimitado por 6 triângulos equiláteros, mas ele não é regular pois em alguns vértices, o número de arestas que partem são 4 e não três.

O paralelepípedo retângulo ( forma da caixa de fósforos ) também não é um poliedro regular, mas este porque não tem todas as faces congruentes entre si.
Só existem cinco poliedros regulares diferentes. Estes são designados de acordo com o número de faces que possuem. Assim, há o tetraedro com quatro faces triangulares, o hexaedro, ou cubo, com seis faces quadradas, o octaedro com oito faces triangulares, o dodecaedro com doze faces pentagonais e o icosaedro com vinte faces triangulares.
Como se pode observar, os prefixos Tetra, Hexa, Octa, Dodeca e Icosa que dão nome aos poliedros regulares, indicam tão somente o número de polígonos ou faces que formam o sólido, e nunca o número de lados de cada face do polígono.
Os primórdios da história dos poliedros regulares perdem-se nas brumas do passado. As pirâmides evidenciam o conhecimento que os egípcios tinham de poliedros. O fato de só existirem cinco poliedros regulares chamou, há séculos, a atenção de muitos filósofos.
Em um dos livros dos Elementos de Euclides ( livro XIII ) estes poliedros são citados como sólidos de Platão, mas são chamados assim erroneamente, porque três deles, o tetraedro, o cubo e o dodecaedro foram estudados pelos pitagóricos, ao passo que o octaedro e o icosaedro tornaram-se conhecidos através de Teaetetus, um amigo de Platão.
No entanto, freqüentemente são chamados "sólidos platônicos" devido à maneira pela qual Platão aplicou suas idéias sobre os sólidos regulares num dialogo intitulado Timaeus , nome de um pitagórico, que serve como principal interlocutor. Mostrou também como construir modelos desses sólidos, juntando-se triângulos, quadrados e pentágonos para formar suas faces. O Timaeus de Platão é o pitagórico Timaeus de Locri, a quem possivelmente encontrou quando visitou a Itália.
Em Timaeus , Platão estabeleceu uma teoria por meio da qual as formas geométricas básicas ( triângulos ) combinam para compor os elementos regulares. Lembremos que os gregos acreditavam que havia somente quatro elementos básicos: fogo, ar, água e terra. Ele misticamente associa os quatro sólidos mais fáceis de construir - o Tetraedro, octaedro, o icosaedro e o cubo com os quatro "elementos" primordiais empedoclianos de todos os corpos materiais
O fogo foi pensado ser composto de partículas em forma de tetraedro. Contornava-se a dificuldade embaraçosa de explicar o quinto sólido, o dodecaedro, associando-o ao Universo que nos cerca.

Os poliedros de Platão são sólidos cujas faces são polígonos regulares idênticos e qualquer que seja a face sobre a qual apoiarem, sempre estarão na mesma posição.
Poliedro de Platão é aquele que:
- Todas as faces sejam polígonos, regulares ou não, mas com o mesmo número de lados ( n );
- Todos os ângulos poliedricos têm o mesmo número de arestas ( p )
- Se verifica a relação de Euler ( V + F = A + 2 ) ;
Assim podemos dizer que todo poliedro regular é poliedro de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é regular.

Nome	V	F	A	V + F - A
Tetraedro	4	4	6	2
Hexaedro	8	6	12	2
Octaedro	6	8	12	2
Dodecaedro	20	12	30	2
Icosaedro	12	20	30	2

POLIEDROS

Os poliedros são figuras geométricas tridimensionais. Uma classe muito interessante de poliedros é a dos chamados Poliedros de Platão.

POLIEDROS DE PLATÃO

 

famílias: Cada um deles têm as seguintes propriedades:

• Todas as faces têm o mesmo número de arestas.
• De cada vértice sempre parte o mesmo número de arestas. Vejamos cada um deles:

  Tetraedero:

  Têm quatro (tetra) faces.
  • Arestas em cada face: 3 (cada face é um triângulo)
  • Arestas em cada vértice: 3

  Hexaedro:

  Tem seis (hexa) faces. Um exemplo importante de hexaedro é o cubo.
  • Arestas em cada face: 4 (cada face é um quadrilátero)
  • Arestas em cada vértice: 3

  Octaedro:

  Tem oito (octo) faces.
  • Arestas em cada face: 3 (cada face é um triângulo)
  • Arestas em cada vértice: 4

  Dodecaedro:

  Tem doze (dodeca) faces.
  • Arestas em cada face: 5 (cada face é um pentágono)
  • Arestas em cada vértice: 3

  Icosaedro:

  Tem vinte (icos,